题目描述（中等难度）

给定 n ，k ，表示从 { 1, 2, 3 … n } 中选 k 个数，输出所有可能，并且选出数字从小到大排列，每个数字只能用一次。

解法一 回溯法

这种选数字很经典的回溯法问题了，先选一个数字，然后进入递归继续选，满足条件后加到结果中，然后回溯到上一步，继续递归。直接看代码吧，很好理解。

public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
    getAns(1,n, k, new ArrayList<Integer>(), ans);
    return ans;
}

private void getAns(int start, int n, int k, ArrayList<Integer> temp,List<List<Integer>> ans) {
    //如果 temp 里的数字够了 k 个，就把它加入到结果中
    if(temp.size() == k){
        ans.add(new ArrayList<Integer>(temp));
        return;
    }
    //从 start 到 n
    for (int i = start; i <= n; i++) {
        //将当前数字加入 temp
        temp.add(i);
        //进入递归
        getAns(i+1, n, k, temp, ans);
        //将当前数字删除，进入下次 for 循环
        temp.remove(temp.size() - 1);
    }
}

一个 for 循环，添加，递归，删除，很经典的回溯框架了。在public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>(); getAns(1,n, k, new ArrayList<Integer>(), ans); return ans; } private void getAns(int start, int n, int k, ArrayList<Integer> temp, List<List<Integer>> ans) { if(temp.size() == k){ ans.add(new ArrayList<Integer>(temp)); return; } for (int i = start; i <= n - (k -temp.size()) + 1; i++) { temp.add(i); getAns(i+1, n, k, temp, ans); temp.remove(temp.size() - 1); } }

虽然只改了一句代码，速度却快了很多。

参考public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>(); List<Integer> temp = new ArrayList<>(); for(int i = 0;i<k;i++){ temp.add(0); } int i = 0; while (i >= 0) { temp.set(i, temp.get(i)+ 1); //当前数字加 1 //当前数字大于 n，对应回溯法的 i == n + 1，然后回到上一层 if (temp.get(i) > n) { i--; // 当前数字个数够了 } else if (i == k - 1) { ans.add(new ArrayList<>(temp)); //进入更新下一个数字 }else { i++; //把下一个数字置为上一个数字，类似于回溯法中的 start temp.set(i, temp.get(i-1)); } } return ans; }

解法三 迭代法2

解法二的迭代法是基于回溯的思想，还有一种思想，参考“>46题的解法一，找 k 个数，我们可以先找出 1 个的所有结果，然后在 1 个的所有结果再添加 1 个数，变成 2 个，然后依次迭代，直到有 k 个数。

比如 n = 5， k = 3

第 1 次循环，我们找出所有 1 个数的可能 [ 1 ]，[ 2 ]，[ 3 ]。4 和 5 不可能，解法一分析过了，因为总共需要 3 个数，4，5 全加上才 2 个数。

第 2 次循环，在每个 list 添加 1 个数， [ 1 ] 扩展为 [ 1 , 2 ]，[ 1 , 3 ]，[ 1 , 4 ]。[ 1 , 5 ] 不可能，因为 5 后边没有数字了。 [ 2 ] 扩展为 [ 2 , 3 ]，[ 2 , 4 ]。[ 3 ] 扩展为 [ 3 , 4 ]；

第 3 次循环，在每个 list 添加 1 个数， [ 1，2 ] 扩展为[ 1，2，3]， [ 1，2，4]， [ 1，2，5]；[ 1，3 ] 扩展为 [ 1，3，4]， [ 1，3，5]；[ 1，4 ] 扩展为 [ 1，4，5]；[ 2，3 ] 扩展为 [ 2，3，4]， [ 2，3，5]；[ 2，4 ] 扩展为 [ 2，4，5]；[ 3，4 ] 扩展为 [ 3，4，5]；

最后结果就是，[[ 1，2，3]， [ 1，2，4]， [ 1，2，5]，[ 1，3，4]， [ 1，3，5]， [ 1，4，5]， [ 2，3，4]， [ 2，3，5]，[ 2，4，5]， [ 3，4，5]]。

上边分析很明显了，三个循环，第一层循环是 1 到 k ，代表当前有多少个数。第二层循环就是遍历之前的所有结果。第三次循环就是将当前结果扩展为多个。

public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    if (n == 0 || k == 0 || k > n) return Collections.emptyList();
    List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
    //个数为 1 的所有可能
    for (int i = 1; i <= n + 1 - k; i++) res.add(Arrays.asList(i));
    //第一层循环，从 2 到 k
    for (int i = 2; i <= k; i++) {
        List<List<Integer>> tmp = new ArrayList<List<Integer>>();
        //第二层循环，遍历之前所有的结果
        for (List<Integer> list : res) {
            //第三次循环，对每个结果进行扩展
            //从最后一个元素加 1 开始，然后不是到 n ，而是和解法一的优化一样
            //(k - (i - 1） 代表当前已经有的个数，最后再加 1 是因为取了 n
            for (int m = list.get(list.size() - 1) + 1; m <= n - (k - (i - 1)) + 1; m++) {
                List<Integer> newList = new ArrayList<Integer>(list);
                newList.add(m);
                tmp.add(newList);
            }
        }
        res = tmp;
    }
    return res;
}

解法四 递归

参考public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { if (k == n || k == 0) { List<Integer> row = new LinkedList<>(); for (int i = 1; i <= k; ++i) { row.add(i); } return new LinkedList<>(Arrays.asList(row)); } // n - 1 里边选 k - 1 个 List<List<Integer>> result = combine(n - 1, k - 1); //每个结果加上 n result.forEach(e -> e.add(n)); //把 n - 1 个选 k 个的结果也加入 result.addAll(combine(n - 1, k)); return result; }

解法五 动态规划

参考public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { List<List<Integer>>[][] dp = new List[n + 1][k + 1]; //更新 k = 0 的所有情况 for (int i = 0; i <= n; i++) { dp[i][0] = new ArrayList<>(); dp[i][0].add(new ArrayList<Integer>()); } // i 从 1 到 n for (int i = 1; i <= n; i++) { // j 从 1 到 i 或者 k for (int j = 1; j <= i && j <= k; j++) { dp[i][j] = new ArrayList<>(); //判断是否可以从 i - 1 里边选 j 个 if (i > j){ dp[i][j].addAll(dp[i - 1][j]); } //把 i - 1 里边选 j - 1 个的每个结果加上 i for (List<Integer> list: dp[i - 1][j - 1]) { List<Integer> tmpList = new ArrayList<>(list); tmpList.add(i); dp[i][j].add(tmpList); } } } return dp[n][k]; }

这里遇到个神奇的问题，提一下，开始的的时候，最里边的 for 循环是这样写的

for (List<Integer> list: dp[i - 1][j - 1]) {
    List<Integer> tmpList = new LinkedList<>(list);
    tmpList.add(i);
    dp[i][j].add(tmpList);
} 

//ArrayList
public boolean add(E e) {
    ensureCapacityInternal(size + 1);  // Increments modCount!!
    elementData[size++] = e;
    return true;
}
//LinkedList
public boolean add(E e) {
    linkLast(e);
    return true;
}
void linkLast(E e) {
    final Node<E> l = last;
    final Node<E> newNode = new Node<>(l, e, null);
    last = newNode;
    if (l == null)
        first = newNode;
    else
        l.next = newNode;
    size++;
    modCount++;
}

接下来就是动态规划的常规操作了，空间复杂度的优化，我们注意到更新 dp [ i ] [ * ] 的时候，只用到dp [ i – 1 ] [ * ] 的情况，所以我们可以只用一个一维数组就够了。和“>5题，53题等等优化思路一样，这里不详细说了。

public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    List<List<Integer>>[] dp = new ArrayList[k + 1]; 
    // i 从 1 到 n
    dp[0] = new ArrayList<>();
    dp[0].add(new ArrayList<Integer>());
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // j 从 1 到 i 或者 k
        List<List<Integer>> temp = new ArrayList<>(dp[0]);
        for (int j = 1; j <= i && j <= k; j++) {
            List<List<Integer>> last = temp;
            if(dp[j]!=null){ 
                temp = new ArrayList<>(dp[j]);
            } 
            // 判断是否可以从 i - 1 里边选 j 个
            if (i <= j) {
                dp[j] = new ArrayList<>();
            }
            // 把 i - 1 里边选 j - 1 个的每个结果加上 i
            for (List<Integer> list : last) {
                List<Integer> tmpList = new ArrayList<>(list);
                tmpList.add(i);
                dp[j].add(tmpList);
            }
        }
    }
    return dp[k];
}

总

开始的时候直接用了动态规划，然后翻了一些 Discuss 感觉发现了新世界，把目前为止常用的思路都用到了，回溯，递归，迭代，动态规划，这道题也太经典了！值得细细回味。

作者：windliang

来源：https://windliang.cc